Para Pipi, el Hegeliano

En respuesta a ¿qué decía Hegel? en relación a las implicaciones de un planteamiento necesariamente Hegeliano

A ver si lo explico meridianamente bien...

La lógica aristotélica distingue entre sujeto y predicado de una proposición o juicio. Además, todos los predicados, según ella son propiedades de los sujetos (qué tipo de propiedad ya es una cuestión metafísica: las hay primarias, secundarias; esenciales, accidentales, etc en función del autor.) No hay predicados diádicos, triádicos, etc.

La lógica moderna se pasa por el forro la distición sujeto predicado. Distingue objetos (variables o constantes) y conceptos (predicados o términos funcionales). Hay predicados diádicos, triádicos, etc. Ahora un ejemplo:

"Juan es el primo de Roberto". Aquí lo que tendríamos según la lógica aristotélica es un sujeto y un predicado y "ser primo de Roberto" sería una propiedad de Juan. Este mismo ejemplo según la lógica moderna se podría simbolizar como jPr, donde P estaría por la función relacional (o predicado diádico) "ser primo de" y Juan y Roberto serían los objetos que ponen en relación dicha función.

Y ahora Hegel (perdón, H-E-G-E-L).

El gran Él

Bajo el planteamiento de la lógica aristotélica hemos dicho que un predicado es una propiedad de un sujeto. Hegel, con su clarividencia habitual, vio que, en el ejemplo, si "es primo de Roberto" es una propiedad de Juan es correcto (y hablamos de la lógica aristotélica, lo que en la época era la Torá para un ultraortodoxo judío ahora y siempre), entonces "es primo de Juan" es una propiedad de Roberto. De lo que se deduce que Juan y Roberto se pertenecen (qué tipo de pertenencia es una cuestión que aún discuten las asociaciones en defensa de los derechos de los homosexuales. También a los ecologistas les interesa el asunto), que son una unidad o algo así. Bajo esta absurda premisa (igual ahora comprendes mejor una frase del guión de The Man From Earth) vio clara la naturaleza de El Absoluto, una especie de unión de todas las cosas de la realidad (si objetos como Juan y Roberto se pertenecen, en pocos pasos cada una de las cosas del universo se pertenecen las unas a las otras). También se entiende mejor su frase de "Todo lo real es racional, todo lo racional es real". Aunque tampoco creas que mucho. Todo fruto de que no se distinguen entre predicados monádicos y los demás. Todos son monádicos o propiedades.

Bien, pues tú eres eso, un Hegeliano.

PS: La lógica aristotélica aún se estudia como LA lógica en muchas facultades de teología del mundo. Sobra decir que no existe LA lógica.

PPS: Ya no recuerdo muy bien los términos de la discusión, pero creo que hablábamos de cosas distintas. Tú te manejabas en el sentido ordinario de la palabra objeto. Yo en el sentido lógico.

PPPS: He escrito una entrada en mi blog porque creo que te metes más al mío que al tuyo. Lo de eres Hegeliano te lo dije hace tres días.

La muerte hacía un Sudoku

Normalmente cuando te planteas la posibilidad de completar un pasatiempo es porque te aburres. Si no no lo terminas; de hecho, si no no lo empiezas. Para qué puñetas vas a buscar terminar un supuesto entretenimiento con el que pasar el rato, si el rato ya se pasa él sólo. Porque no hay nada más fácil que ver como el tiempo se esfuma delante de tus narices y que tú no puedas evitarlo. Es como cuando yo escribo estas líneas. No es sólo que por cada letra que vaya escribiendo un fragmento de tiempo se haya evaporado. Es también que por cada letra que lees pierdes un fragmento de tu valioso tiempo. Y ambas cosas suceden en instantes temporalmente distintos. Por ello, el mundo de los blogs no es sólo mágico, sino que también es una ingente y desproporcionada pérdida de tiempo cuyos efectos se multiplican exponencialmente a mayor cantidad de entradas ( o salidas) y de lecturas ajenas.

Bienvenidos a la blogoesfera, donde el tiempo es tirado a la basura sin remordimiento alguno.

Pero bueno, ya basta de hablar del tiempo. Yo he venido aquí a hablar de Pasatiempos. Sí, de pasatiempos con mayúsculas. Y si de Pasatiempos trata el tema, habrá que hablar del Pasatiempo por excelencia. O lo que es lo mismo: habrá que hablar de los Sudokus.

No os voy a contar la pena de Murcia acerca de este genial entretenimiento. Eso si queréis lo podéis encontrar en otros sitios. Si me permitís la pedantería, os voy a hablar de un aspecto del sudoku algo profundo. Bueno, qué cojones, muy profundo. De hecho, ese aspecto está enterrado bajo tierra.

Si tenéis cierta culturilla cinematográfica, os habréis dado cuenta de que el título de esta entrada guarda cierto parecido con cierta película de Sergio Leone. En aquella película dos cazarrecompensas se disputaban el botín que se ofrecía por la captura o el asesinato de un peligroso bandido. Bien, esta entrada no guarda ninguna relación con esa película, pero me apetecía hablar de ella.

De lo que quiero hablar, ahora sí, es de las reflexiones que me suscitan los conceptos de sudoku y pasatiempo en relación al más allá. Sí amigos, lo que voy a hacer es una metafísica ultramundana del juego de las celdas y las cifras. Y no estoy hablando en broma (¿a qué peli os recuerda esta frase imaginándola con acento italiano? Pista: es española).

Pensad sólo por un momento en la predisposición anímica que adoptáis a la hora de encarar uno de estos pasatiempos. Podría resumirse en un: sé cuando lo empiezo, pero en absoluto cuando lo acabaré. Al menos piensas eso cuando ya has hecho unos cuantos difíciles y tienes experiencia. Siempre está el clásico ingenuo que afirma cosas como: "qué dices tío, si los sudokus están tirados, son cosa de aplicar la lógica y ya está". La lógica y ya está y los cojones y aún no está, porque muchas veces se trata de resolver estos puzzles por lo legal o por lo criminal. Aunque te lleven horas, días, semanas o incluso la muerte. O a la muerte.

La muerte es la conclusión de la existencia. Es su punto final. Y esto, en realidad, es hablar impropiamente. La muerte no es un acontecimiento de la existencia. Lo que aquí sucede es que la muerte concluye la existencia, la pone punto final, pero desde fuera, por así decirlo, como la mecha que hace detonar el explosivo. No obstante, si bien la muerte no es un acontecimiento de la vida, tampoco la vida es un acontecimiento de la muerte. Ambas dos, son realidades contrapuestas que, si bien no llegan a tocarse, forman un continuo.

Diréis: ¿Cómo que forman un continuo y no se tocan? Deja de decir disparates.

Y con esto llego al rasgo esencial de todo sudoku con un cierto nivel de dificultad: la capacidad para abstraerte de las coordenadas espacio temporales. En efecto, cuando te empleas en la resolución de uno de estos puzzles sucede algo mágico: la suspensión del tiempo. Esto enlaza en un sentido con lo de intentar terminar los sudokus por cojones. Y en otro sentido enlaza con el título de esta entrada. La muerte, amigos, es el signo distintivo de este pequeño gran puzzle, es el nexo de unión, a la vez material e inmaterial que hace que la vida y la muerte supongan un continuo. No, no me he vuelto loco. Bueno, o sí. Todo es un continuo. ¿O no? Sí, sí...

Ala, aquí os dejo un sudoku o, más bien, una matriz productora de innumerables sudokus. Lo he puesto en el nivel más dificil. De lo que se trata es de corroborar las líneas anteriores. Aunque bueno, no sé si me ha hecho mucho caso. Aún sigo vivo...

La Isla de los Preguntones

Os voy a poner un par de acertijos correspondientes al primer capítulo de la segunda parte del libro ¿La Dama o El Tigre? de Raymond Smullyan. Muy sencillitos, son los que abren el capítulo. Poca cosa, en definitiva.

En algún lugar de las vastas extensiones del océano hay una isla muy extraña, conocida como la isla de los Preguntones. Su nombre se deriva del hecho de que sus habitantes nunca hacen afirmaciones; sólo hacen preguntas. Entonces, ¿cómo logran comunicarse? Lo veremos más adelante.

Los habitantes sólo hacen respuestas que requieren la respuesta sí o no. Cada habitante pertenece a uno de dos tipos, A y B. Los del tipo A hacen sólo preguntas cuya respuesta correcta es sí; los del tipo B hacen preguntas cuya respuesta correcta es no. Por ejemplo, un habitante del tipo A podría preguntar, "dos más dos, ¿es cuatro?" Pero no podría preguntar si dos más dos son cinco. Un habitante del tipo B no podría preguntar si dos y dos son cuatro, pero podría preguntar si dos y dos son cinco, o si dos y dos son seis.

1. Supón que te encuentras con un nativo de esta isla y te pregunta:
- ¿Soy del tipo B?
¿Qué deducirías?

2. Supón, en cambio, que te hubiera preguntado si era del tipo A.
¿Qué habrías deducido?

¿Fácil no? En cualquier caso, cualquier parecido con la filosofía es sólo un espejismo.

¡Ajá! Paradojas que hacen pensar

El libro que os voy a presentar a continuación es uno de los más claros exponentes de lo que ha venido a denominarse matemática recreativa. En la matemática recreativa, como su propio nombre indica, lo que se busca es el carácter lúdico de la disciplina. Si alguna vez en tu vida cogiste tiña o directamente asco a las matemáticas, en esta clase de libros encontrarás una visión de las mismas distinta a la que probablemente te formaste en tu etapa de adiestramiento escolar. Porque, aunque suene raro e incluso geek o nerd (tipos especiales de frikismo), las matemáticas pueden ser divertidas. Y de eso Martin Gardner, el mayor experto mundial en la materia, sabe un rato.

¡Ajá! Paradojas que hacen pensar pretende, a pesar de su título carente por completo de carisma, adentrarnos al maravilloso mundo de las paradojas matemáticas a través de un viaje donde la visión de conjunto, el aspecto divulgativo y ante todo la faceta lúdica son las notas paisajísticas predominantes. De este modo, las secciones con las que cuenta el libro son: lógica, números, geometría, probabilidad, estadística y tiempo.

En cualquier caso, para saber de qué trata el libro, lo mejor será fijarse en el significado de la palabra paradoja. Un estudio superficial de la palabra nos puede llevar facilmente a la conclusión de que no se trata precisamente de un término unívoco, pues se presenta a diversas confusiones en función del contexto en que se use. En otras palabras: es polisémico. Por ello, el propio Martin Gardner no se arredra al afirmar en su prólogo que usa el término en el sentido más amplio, el cual según él, puede desglosarse en los siguientes cuatro tipos de sentencias:

1. Afirmaciones que parecen falsas, aunque en realidad son verdaderas.
2. Afirmaciones que parecen verdaderas, aunque en realidad son falsas.
3. Cadenas de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. Es decir, falacias.
4. Declaraciones cuya veracidad o falsedad es indecidible.

Las más entretenidas son las paradojas de los dos primeros tipos. Las del tercero propiamente no son paradojas y las del cuarto son sin duda las que mayor grado de dificultad encierran y las que a mayores senderos de profundidad arrastran.

Tras un breve vistazo panorámico nos encontramos con la paradoja del mentiroso, la paradoja del barbero, de regresión infinita, la paradoja de Newcomb, de teoría de conjuntos, sobre la antimateria, acerca del azar, la falacia del jugador, sobre el principio de indiferencia, del verzul de Goodman, sobre el término medio, sobre los relojes locos de Lewis Carroll, sobre el destino y el libre albedrío, sobre máquinas del tiempo y un largo etcétera.

Todas las paradojas son expuestas con admirable elocuencia por Martin Gardner, eludiendo los tecnicismos en la medida de lo posible y casi siempre con un lenguaje claro y coloquial, sin oscurantismos disciplinares. Por ello, el principal punto fuerte del libro es el modo de presentación de las paradojas. Éste aproxima al lector desde un punto de vista divulgativo a la esencia problemática de los enunciados. Sin embargo, esa visión panorámica choca en ocasiones con la tendencia a querer saber más acerca de las paradojas: su origen, su repercusión, su ámbito, etc. Este aspecto queda subsanado con el apartado de referencias bibliográficas acerca de los distintos temas que aparece al final del libro para que el lector pueda profundizar, si así lo desea. No obstante, un poco más de profundidad no estaría de más, aunque claro está, allí donde hay profundidad el aspecto lúdico corre el riesgo de desaparecer. Y el objetivo del libro es el que es. Se entiende entonces el modo de proceder.

En cualquier caso, estamos ante un libro que, solamente por el tema que trata y el estilo con el que está expuesto, merece ser considerado como una futura adquisición a tener en cuenta. Martin Gardner es a la matemática recreativa lo que Isaac Asimov a la divulgación científica. Queda todo dicho con eso.

Todos los vitorianos somos excepcionales

Ésta no es una entrada que quepa interpretársela como una soez muestra de chovinismo regional. Nada de eso. Por el contrario, esta guíada por el más recio y estricto ejercicio intelectual llevado hasta sus últimas consecuencias. Esta entrada no pretende sino evidenciar aquella conjetura que los filósofos, científicos e intelectuales en general de toda región han sospechado desde tiempos inmemoriales, a saber: la excelencia en el campo de la excepcionalidad del vitoriano prototípico. Este post, a fin de cuentas, pretende demostrar, bajo el ejercicio de la más exacta y rigurosa lógica, que el título de esta entrada es verdad y, por ello, irrefutable. Y la demostración es la siguiente:

Cojamos el conjunto de todos los vitorianos y establezcamos dos conjuntos, que serán conjuntamente exhaustivos, esto es, que su intersección de lugar al conjunto vacío. Al primero irán a parar todos aquellos individuos que destaquen por alguna cualidad que les diferencie del resto: ser futbolista, ser alcalde, ligar mucho, tener un nivel de lectura muy rápido, ser muy feo, ser muy alcohólico, etc. Al segundo conjunto irán a formar parte todos aquellos individuos que no destaquen por ninguna cualidad en especial; será el conjunto formado por todas aquellas personas que podríamos llamar normales. Si nos fijamos en el segundo conjunto, debe existir el vitoriano más normal y anodino de la colección de individuos; esa persona precisamente será por ello mismo excepcional y deberá entrar a formar parte del primer conjunto. Pero una vez hecha la operación, un nuevo vitoriano será la persona más normal de entre los normales, y por ello mismo será también trasvasado al primer conjunto. Al cabo de poco tiempo, y por inducción matemática, no habrá ningún vitoriano en el conjunto de las personas normales, con lo que se habrá demostrado que todos los vitorianos son excepcionales.

Sí. Este razonamiento está al abrigo de cualquier duda, pues su estructura formal lo hace irrefutable. Ahora bien, ¿qué significa ser excepcional?

La paradoja de Hempel

La ciencia se ocupa de crear modelos que describan y expliquen cómo funciona el mundo. Esto lo hace por medio de teorías e hipótesis que han de ser confrontadas empíricamente con lo que sucede. En ese sentido hablamos de confirmación o disconfirmación: una hipótesis ha sido confirmada cuando ha sido suficientemente corroborada por los hechos; paralelamente, ha sido disconfirmada cuando no ha sido corroborada por los hechos, y, en este caso, refutada. De este modo, las teorías han de pasar por el tribunal de la experiencia, quien dictamina la validez o no de éstas. Más o menos así son nuestra intuiciones más primarias acerca de cómo es el funcionamiento de la ciencia. El sentido común nos dice que así son las cosas.

Sin embargo, el sentido común no siempre acierta en sus estimaciones. Existen numerosos ejemplos que ponen en entredicho la fiabilidad de nuestro "sexto sentido". Por citar algunos casos: la tierra no es plana o el sol no gira alrededor de la Tierra son ejemplos paradigmáticos de cómo, en estos casos, la ciencia contradice el sentido común.

En 1943, Carl Hempel, filósofo de la Ciencia, mostró que la idea de confirmación empírica encierra una curiosa paradoja. Supongamos que tenemos un enunciado científico que afirma que Todos los cuervos son negros. Siguiendo el método hipótetico deductivo, de éste enunciado cabe inferir infinitos enunciados existenciales acerca de objetos que son cuervos y, además, son negros.

Sin tener en cuenta el problema de la inducción, y asumiendo que dada una cantidad muy grande de observaciones el enunciado universal Todos los cuervos son negros sería confirmado, se nos presenta la siguiente paradoja: el enunciado Todos los cuervos son negros es equivalente lógicamente al enunciado Todas las cosas no-negras son no-cuervos. Básicamente es aplicar la ley de contraposición a la primera frase. Ahora bien, una evidencia empírica que confirme Todos los cuervos son negros, a saber, un cuervo negro, a la fuerza confirmará el enunciado Todas las cosas no-negras son no-cuervos. Y a la inversa. Así que si yo observo una cosa que es roja y que es cenicero, estoy confirmando la hipótesis de que Todos los cuervos son negros. Lo cual es bastante contrario a la intuición, a parte de ser una curiosa forma de practicar la ornitología sin salir de casa.

Según Hempel, lo que está equivocado es la intuición o sentido común. Que yo vea un gusano amarillo confirma perfectamente la proposición que dice que Todos los cuervos son negros, sólo que en un grado porcentual infinitésimo. Según éste planteamiento, todos los objetos del universo juegan un papel esencial en la actividad científica, pues a todos hay que tenerlos en cuenta a la hora de valorar el grado o porcentaje de fiabilidad que una hipótesis científica nos despierta.

Sin embargo, no pocos filósofos han criticado este planteamiento. Para ello barajemos dos hipótesis evidentemente contradictorias: Todos los cuervos son negros y Todos los cuervos son blancos. Se trata de dilucidar cuál de las dos hipótesis es correcta, pues está claro que ambas no pueden serlo al mismo tiempo. Ahora bien, ¿qué pasa cuando planteamos como evidencia observacional el avistamiento de una cabra de color turquesa? La consecuencia paradójica es que ese enunciado confirma tanto a Todos los cuervos son negros como a Todos los cuervos son blancos, pues se trata de un objeto que no es ni negro ni blanco y tampoco es un cuervo. Pero, ¿cómo algo puede confirmar a la vez a dos hipótesis mutuamente contradictorias?

Que algo no funciona en el planteamiento del problema es evidente, ahora bien, ¿qué es? Los filósofos de la ciencia siguen discutiendo acerca de qué pueda ser, y la discusión, no parece tener fin. A no ser que llegue un iluminado y formule la cuestión en otros términos. ¿Eres tú ese iluminado? Me da igual.

Dos centinelas y dos puertas

Este acertijo me lo plantearon el sábado en medio de una borrachera. Sí, momento idóneo en todos los sentidos. El alcohol nunca ha sido amigo de la razón, y la verdad es que mi embriaguez acabó tan pronto como había encajado las piezas del puzzle. O al menos eso creía; y me refiero tanto a la solución como al hecho de que creyera que ya no estaba borracho.

Al acertijo se le puede poner toda la carga retórica que se quiera, pero básicamente el enunciado sería el siguiente: Te encuentras en una habitación con dos puertas. Una te lleva al cielo y la otra al infierno, pero no sabes cuál te lleva a cada destino. Paralelamente, hay dos centinelas que cobijan cada uno una puerta. Uno siempre miente y el otro siempre dice la verdad, pero no sabes cuál es cuál. Además, no sabes que puerta cobija cada uno. El asunto consiste en que sólo puedes hacer una única pregunta a uno de ellos. Con la respuesta que te dé debes deducir cuál es la puerta que te lleva al cielo. ¿Cuál es esa pregunta redentora?

(Si te apetece pensar, y por tanto sufrir, deja de leer las siguientes líneas.)

Antes de enunciar la pregunta como si de un chispazo divino se tratara, conviene pensar que tan sólo hay cuatro combinaciones posibles entre el par de centinelas y el par de puertas. El espacio lógico de posibilidades puede representarse mediante la siguiente tabla:


La pregunta que planteemos tiene que contar con una respuesta unívoca en cada una de éstas situaciones; no puede llevar a contradicción. Además, puesto que uno miente y el otro dice la verdad, la pregunta que le planteemos a uno tendrá que versar acerca de algo que diga el otro, de modo que esto nos permita inferir consecuencias en base a la matriz de arriba.

Lo interesante del acertijo es que no sabemos ni quién miente ni quién dice la verdad. Por tanto, una pregunta acerca de si mienten o no no llevará a ningún lado. Por ejemplo: si le pregunto a un centinela: ¿el otro miente cuando dice que su puerta es la del cielo? Si me contesta que sí, entonces el otro miente y éste me está diciendo la verdad, por lo que la puerta del cielo estaría cobijada por el que me contesta. Pero esa es una posibilidad de entre cuatro. Y podría ser que el centinela que me contesta mienta, en cuyo caso la afirmación de que el otro miente sería mentira, pues es seguro que uno miente y el otro dice la verdad, así que el segundo cobijaría la puerta del cielo. Esto sería contradictorio con la primera opción. Pero más aún, si el que me contesta no miente cuando me dice que el otro no miente (me dice verdaderamente que el otro me dice la verdad) o si miente cuando me dice que el otro no miente (en este caso identificando mentira con falsedad, algo discutible), estaríamos ante auto-contradicciones; imposibilidades lógicas que frenan la deducción en virtud de un proceso infinito que viola la condición de que uno miente y el otro dice la verdad. Así que hay que plantear las cosas de otro modo.

Introduzcamos una pregunta que verse sobre las puertas, pero no subordinadas a la mentira o a la verdad, sino al revés, subordinando la verdad o la falsedad a las puertas. Algo como: Si le pregunto al otro centinela cuál es la puerta del cielo, ¿Cuál me dirá? Ahora mismo estamos en disposición de usar la tabla que hemos hecho antes.

Si se lo preguntamos al centinela mentiroso en caso de que cobije la puerta del cielo, nos contestará que el otro nos dirá que es la suya, porque aquel nos mentirá. Si se lo preguntamos al centinela honesto que cobija la puerta del infierno, nos contestará que es la suya, porque el otro mentirá. Si se lo preguntamos al centinela mentiroso que cobija la puerta del infierno, nos contestará que es la de él, porque nos estará mintiendo. Y si se lo preguntamos al centinela honesto que cobija la puerta del cielo, nos contestará que es la otra, porque es lo que dice el que miente que cobija la otra puerta.

Así que esa es la pregunta que hay que hacer. Resumiendo: todas las respuestas que nos den apuntarán hacia la puerta del infierno, por lo que la que tendremos que escoger será la otra. Hemos cumplido el requisito de la univocidad en las distintas posibilidades.

Naturalmente, cabe otra pregunta: Si le pregunto al otro centinela cuál es la puerta del infierno, ¿cuál me dirá? En este caso la decisión que deberemos tomar será coger siempre la puerta que nos digan que es la del infierno, en vez de la otra. La deducción es sencilla toda vez que se conoce la pregunta...

Caballeros, escuderos y normales

En la isla de los caballeros, los escuderos y los normales, los caballeros siempre dicen la verdad, los escuderos siempre mienten y los llamados normales pueden o bien mentir o bien decir la verdad indistintamente.

Un día yo visité esta isla y me encontré con dos habitantes, A y B. Yo sabía ya que uno de ellos era un caballero y el otro era normal, pero no sabía cuál era cuál. Pregunté a A si B era normal y me contestó sí o no. Entonces supe cuál era cuál.

¿Cuál de los dos es normal?

¿Cuánto Beneficio?

Lo sorprendente de este acertijo es que la gente siempre se pelea por la respuesta. Sí, distinta gente lo resuelve de distinta manera y salen con respuestas distintas, y cada uno insiste en que su respuesta es la correcta. El acertijo es éste:

Un comerciante compró un artículo por 7 dólares, lo vendió por 8, lo volvió a comprar por 9 y lo vendió por 10. ¿Cuánto beneficio sacó?

El acertijo del político

Cierta convención reunía a cien políticos. Cada político era o bien deshonesto o bien honesto. Se nos dan los dos datos siguientes:

1) Al menos uno de los políticos era honesto.
2) Dado cualquier par de políticos, al menos uno de los dos era deshonesto.

¿Puede determinarse partiendo de estos dos presupuestos cuántos políticos eran honestos y cuántos deshonestos?

Métodos para multiplicar

Os dejo un puñado de métodos no al uso para hacer multiplicaciones , unos más intuitivos y sencillos que otros, pero igualmente ingeniosos todos.

Y mi preferido: