Napoleón y las pirámides

Soldats! Du Haute de ces pyramides quarante siècles nous contemplent

Durante la campaña napoleónica en Egipto en 1798 se libró una célebre batalla a las afueras de El Cairo, en Embaba, en presencia de las pirámides, y que se conoce como la batalla de las Pirámides. Una medalla que conmemora la victoria francesa porta las palabras que pronunció Napoleón para exhortar a sus tropas: ¡Soldados! Desde lo alto de estas pirámides cuarenta siglos nos contemplan. Napoleón, ducho en matemáticas, tenía un sentido asombroso de los números y un profundo sentido de la historia. En aquella época, aún no se había determinado la fecha de construcción de las pirámides, pero Napoleón dio en el clavo. Sus cuarenta siglos o 4000 años fijarían la fecha alrededor del 2200 a.C. Hoy se sabe que la gran pirámide data del 2500 a.C., es decir, solo unos 300 años antes de la estimación de Napoleón.

Cuentan que, después de la batalla, Napoleón y sus oficiales visitaron la gran pirámide. Mientras los oficiales más aventureros escalaron hasta la cima, el bueno de Napoleón se contentó con descansar a la sombra de la pirámide junto a la base, mientras jugaba con números. Cuando los oficiales bajaron y se reunieron con él, Napoleón explicó que había estado calculando la cantidad de piedra que formaba la pirámide. Había suficiente, dijo, para construir un muro de piedra de 3 metros de alto y 0,3 m de grosor alrededor de toda Francia. En el grupo de franceses se encontraba Gaspard Monge, un gran matemático y el inventor de la geometría proyectiva (una buena pregunta sería qué demonios hacía ese tipo con Napoleón combatiendo en Egipto). El realizó su propio cálculo y, según cuentan, declaró que Napoleón había efectuado una estimación muy acertada.

El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto de la base por la altura. La base de la gran pirámide es un cuadrado que mide 229 m de lado, de modo que cubre un área de 52.441 metros cuadrados. La altura es de 146 m. Por tanto, el volumen abarca una extensión de 2.552.005 metros cúbicos. Si se supone que la pirámide es sólida (es decir, que no hay una cantidad significativa de huecos vacíos o cámaras), entonces es fácil calcular qué longitud tendría un muro construido con toda esa masa de piedra que midiera 3 m de alto y 30 cm de grosor, según especificó Napoleón.

Si se picara toda la piedra de la pirámide para construir un muro de esas características, se obtendría una tapia de 2.836.000 m, es decir, 2.836 km de longitud. La razón es que 2.836.000 x 3 x 0,30 es igual a 2.552.005 metros cúbicos, o sea, el volumen total de la pirámide.

Francia tiene forma aproximada de rectángulo, casi de cuadrado, ya que es algo más larga de norte a sur (unos 770 km, medida desde Montpellier hasta Reims), que de este a oeste (unos 700 km, medida desde Nantes hasta Besançon). Por tanto, su perímetro asciende a unos (2 x 770) + (2 x 700) = 2.940 km.

Estos números evidencian que Napoleón efectuó una estimación correcta de esa magnitud. La pirámide contiene piedra suficiente para formar un muro de 2.836 km de longitud, y su perímetro formaría un rectángulo lo bastante largo para abarcar toda Francia, que ronda los 2.940 km, lo cual supone un margen de error del 3%.

Por supuesto, si el muro en cuestión no fuera un rectángulo lo bastante grande como para abarcar el conjunto de Francia, sino que tuviera que seguir los entrantes y salientes de las fronteras y costas francesas, sería mucho más largo. Sin embargo, al César lo que es del César (o al emperador lo que es del emperador, en este caso): es dudoso que ni siquiera alguien como Napoleón pudiera realizar una estimación tan precisa de la longitud de un perímetro tan serpeante.

Con todo, ¡puto amo!

PS: Si queréis más datos sobre estas cuestiones, consultad El Triunfo de los números de I.B. Cohen, cualquier biografía de Napoleón o Internet. ¡Napoleón está en todas partes!

Matrices Mágicas

El siguiente truco viene en el volumen llamado ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar de Martin Gardner, en la sección de números.


Copie esta matriz de 4 por 4 en una hoja, y numere de 1 a 16 sus casillas. Voy a hacerle una exhibición de fuerza psíquica que le dejará atónito. ¡Voy a dirigir y controlar una selección de cuatro números realizada por usted en la matriz!


Rodee con un círculo un número cualquiera, a su capricho. En el dibujo se ha marcado el 12; lo mismo puede tomarse otro cualquiera. Tache con una barra vertical la columna que lo contiene, y otro tanto con la fila.

Ahora rodee otro número cualquiera de los no tachados todavía. Vuelva a tachar la fila y columna de éste. Elija a su capricho un tercer número no tachado, y suprima también su fila y su columna. Finalmente rodee el único número restante.


Si usted ha seguido mis indicaciones, el casillero presentará más o menos este aspecto. Sume ahora los cuatro números seleccionados. ¿Preparado? Voy a decirle cuánto vale la suma que usted ha calculado. Es..., es..., ¡34! ¿Es correcta? Claro que es correcta. ¿Cómo he podido yo saberlo? ¿Será que he influido sobre usted en el momento de elegir?

***

¿Por qué nos obliga esta matriz a que la suma de los números elegidos sea siempre 34? Su secreto es tan sencillo como ingenioso. En el encabezamiento de una matriz de 4 por 4 escribimos los números 1, 2, 3, 4; a la izquierda de cada hilera ponemos los números 0, 4, 8, 12:


Estos ocho números se llaman generadores de la matriz mágica. En cada casilla se escribe ahora el número suma de sus dos generadores, a saber, la suma del situado a la cabeza de la columna con el escrito al costado de su fila. Una vez rellenado de este modo el casillero, encontraremos una matriz que contiene los números de 1 a 16 en orden correlativo.


Veamos ahora qué sucede al ir señalando cuatro números según el procedimiento indicado. Tal procedimiento garantiza que no serán elegidos dos números de una misma fila o columna. Cada número de la matriz es suma de un único par de generadores; por consiguiente, la suma de los cuatro números señalados será igual a la suma de los ocho generadores. Y como los generadores suman en total 34, también los cuatro números elegidos habrán de sumar 34.

Una vez comprendido el funcionamiento de la matriz, se pueden construir matrices mayores de tamaño arbitrario. Fijémonos, por ejemplo, en la matriz de orden 6 siguiente, con sus 12 generadores. Observemos que en este caso los generadores han sido elegidos de manera que los números del casillero parezcan dados al azar. Queda así oculta la estructura subyacente de la matriz, haciendo que parezca aún más misteriosa:


Los generadores suman 30. Elegidos seis números por el procedimiento explicado, sumarán 30. El número mágico (la suma) podrá ser, desde luego, cualquier número que se desee.

Es posible construir una matriz de 10 por 10 que implique suma 100 o cualquier otro número curioso, como el año en curso o el año de nacimiento de una persona. ¿Podrán construirse matrices mágicas que contengan en algunas casillas números negativos? ¡Claro que sí! En realidad, los generadores pueden ser números cualesquiera, positivos o negativos, racionales o irracionales.

¿Podrán construirse matrices donde el cálculo del número mágico se haga multiplicando los elegidos, en vez de sumarlos? Sí; y ello sugiere otro camino a explorar. La construcción fundamental sigue siendo exactamente la misma. El número impuesto, en este caso, resulta ser producto del conjunto de generadores.

Curioso, ¿no?

¡Ajá! Paradojas que hacen pensar

El libro que os voy a presentar a continuación es uno de los más claros exponentes de lo que ha venido a denominarse matemática recreativa. En la matemática recreativa, como su propio nombre indica, lo que se busca es el carácter lúdico de la disciplina. Si alguna vez en tu vida cogiste tiña o directamente asco a las matemáticas, en esta clase de libros encontrarás una visión de las mismas distinta a la que probablemente te formaste en tu etapa de adiestramiento escolar. Porque, aunque suene raro e incluso geek o nerd (tipos especiales de frikismo), las matemáticas pueden ser divertidas. Y de eso Martin Gardner, el mayor experto mundial en la materia, sabe un rato.

¡Ajá! Paradojas que hacen pensar pretende, a pesar de su título carente por completo de carisma, adentrarnos al maravilloso mundo de las paradojas matemáticas a través de un viaje donde la visión de conjunto, el aspecto divulgativo y ante todo la faceta lúdica son las notas paisajísticas predominantes. De este modo, las secciones con las que cuenta el libro son: lógica, números, geometría, probabilidad, estadística y tiempo.

En cualquier caso, para saber de qué trata el libro, lo mejor será fijarse en el significado de la palabra paradoja. Un estudio superficial de la palabra nos puede llevar facilmente a la conclusión de que no se trata precisamente de un término unívoco, pues se presenta a diversas confusiones en función del contexto en que se use. En otras palabras: es polisémico. Por ello, el propio Martin Gardner no se arredra al afirmar en su prólogo que usa el término en el sentido más amplio, el cual según él, puede desglosarse en los siguientes cuatro tipos de sentencias:

1. Afirmaciones que parecen falsas, aunque en realidad son verdaderas.
2. Afirmaciones que parecen verdaderas, aunque en realidad son falsas.
3. Cadenas de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. Es decir, falacias.
4. Declaraciones cuya veracidad o falsedad es indecidible.

Las más entretenidas son las paradojas de los dos primeros tipos. Las del tercero propiamente no son paradojas y las del cuarto son sin duda las que mayor grado de dificultad encierran y las que a mayores senderos de profundidad arrastran.

Tras un breve vistazo panorámico nos encontramos con la paradoja del mentiroso, la paradoja del barbero, de regresión infinita, la paradoja de Newcomb, de teoría de conjuntos, sobre la antimateria, acerca del azar, la falacia del jugador, sobre el principio de indiferencia, del verzul de Goodman, sobre el término medio, sobre los relojes locos de Lewis Carroll, sobre el destino y el libre albedrío, sobre máquinas del tiempo y un largo etcétera.

Todas las paradojas son expuestas con admirable elocuencia por Martin Gardner, eludiendo los tecnicismos en la medida de lo posible y casi siempre con un lenguaje claro y coloquial, sin oscurantismos disciplinares. Por ello, el principal punto fuerte del libro es el modo de presentación de las paradojas. Éste aproxima al lector desde un punto de vista divulgativo a la esencia problemática de los enunciados. Sin embargo, esa visión panorámica choca en ocasiones con la tendencia a querer saber más acerca de las paradojas: su origen, su repercusión, su ámbito, etc. Este aspecto queda subsanado con el apartado de referencias bibliográficas acerca de los distintos temas que aparece al final del libro para que el lector pueda profundizar, si así lo desea. No obstante, un poco más de profundidad no estaría de más, aunque claro está, allí donde hay profundidad el aspecto lúdico corre el riesgo de desaparecer. Y el objetivo del libro es el que es. Se entiende entonces el modo de proceder.

En cualquier caso, estamos ante un libro que, solamente por el tema que trata y el estilo con el que está expuesto, merece ser considerado como una futura adquisición a tener en cuenta. Martin Gardner es a la matemática recreativa lo que Isaac Asimov a la divulgación científica. Queda todo dicho con eso.

¿Cuánto Beneficio?

Lo sorprendente de este acertijo es que la gente siempre se pelea por la respuesta. Sí, distinta gente lo resuelve de distinta manera y salen con respuestas distintas, y cada uno insiste en que su respuesta es la correcta. El acertijo es éste:

Un comerciante compró un artículo por 7 dólares, lo vendió por 8, lo volvió a comprar por 9 y lo vendió por 10. ¿Cuánto beneficio sacó?

Números de tres cifras

Haz el siguiente truco de "magia" y dejarás a todos perplejos. Aunque te recomiendo que los dejes perplejos una sola vez.

Piensa en un número de tres cifras que no empiece (obviamente) ni termine por 0, y que no sea palíndromo (capicúa). Sigue las instrucciones:

1- Halla su inverso (invierte el orden de sus cifras). Ejemplo: abc --> cba

2- De los dos números de tres cifras que tienes, el que pensaste primeramente y su inverso, resta el que sea menor al que sea mayor.

3- Halla el inverso del resultado del paso 2.

4- Suma los resultados del paso 2 y 3.

Pregunta: ¿Es un número de 4 cifras?

Respuestas:

1. Sí: es el 1089
2. No: es el 198

Métodos para multiplicar

Os dejo un puñado de métodos no al uso para hacer multiplicaciones , unos más intuitivos y sencillos que otros, pero igualmente ingeniosos todos.

Y mi preferido: