sábado, 22 de diciembre de 2007

Matrices Mágicas

El siguiente truco viene en el volumen llamado ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar de Martin Gardner, en la sección de números.


Copie esta matriz de 4 por 4 en una hoja, y numere de 1 a 16 sus casillas. Voy a hacerle una exhibición de fuerza psíquica que le dejará atónito. ¡Voy
a dirigir y controlar una selección de cuatro números realizada por usted en la matriz!


Rodee con un círculo un número cualquiera, a su capricho. En el dibujo se ha marcado el 12; lo mismo puede tomarse otro cualquiera. Tache con una barra vertical la columna que lo contiene, y otro tanto con la fila.

Ahora rodee otro número cualquiera de los no tachados todavía. Vuelva a tachar la fila y columna de éste. Elija a su capricho un tercer número no tachado, y suprima también su fila y su columna. Finalmente rodee el único número restante.


Si usted ha seguido mis indicaciones, el casillero presentará más o menos este aspecto. Sume ahora los cuatro números seleccionados. ¿Preparado? Voy a decirle cuánto vale la suma que usted ha calculado. Es..., es..., ¡34! ¿Es correcta? Claro que es correcta. ¿Cómo he podido yo saberlo? ¿Será que he influido sobre usted en el momento de elegir?

***

¿Por qué nos obliga esta matriz a que la suma de los números elegidos sea siempre 34? Su secreto es tan sencillo como ingenioso. En el encabezamiento de una matriz de 4 por 4 escribimos los números 1, 2, 3, 4; a la izquierda de cada hilera ponemos los números 0, 4, 8, 12:


Estos ocho números se llaman generadores de la matriz mágica. En cada casilla se escribe ahora el número suma de sus dos generadores, a saber, la suma del situado a la cabeza de la columna con el escrito al costado de su fila. Una vez rellenado de este modo el casillero, encontraremos una matriz que contiene los números de 1 a 16 en orden correlativo.


Veamos ahora qué sucede al ir señalando cuatro números según el procedimiento indicado. Tal procedimiento garantiza que no serán elegidos dos números de una misma fila o columna. Cada número de la matriz es suma de un único par de generadores; por consiguiente, la suma de los cuatro números señalados será igual a la suma de los ocho generadores. Y como los generadores suman en total 34, también los cuatro números elegidos habrán de sumar 34.

Una vez comprendido el funcionamiento de la matriz, se pueden construir matrices mayores de tamaño arbitrario. Fijémonos, por ejemplo, en la matriz de orden 6 siguiente, con sus 12 generadores. Observemos que en este caso los generadores han sido elegidos de manera que los números del casillero parezcan dados al azar. Queda así oculta la estructura subyacente de la matriz, haciendo que parezca aún más misteriosa:


Los generadores suman 30. Elegidos seis números por el procedimiento explicado, sumarán 30. El número mágico (la suma) podrá ser, desde luego, cualquier número que se desee.

Es posible construir una matriz de 10 por 10 que implique suma 100 o cualquier otro número curioso, como el año en curso o el año de nacimiento de una persona. ¿Podrán construirse matrices mágicas que contengan en algunas casillas números negativos? ¡Claro que sí! En realidad, los generadores pueden ser números cualesquiera, positivos o negativos, racionales o irracionales.

¿Podrán construirse matrices donde el cálculo del número mágico se haga multiplicando los elegidos, en vez de sumarlos? Sí; y ello sugiere otro camino a explorar. La construcción fundamental sigue siendo exactamente la misma. El número impuesto, en este caso, resulta ser producto del conjunto de generadores.

Curioso, ¿no?